Изначально синус и косинус возникли из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Было замечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается всегда одинаковым.
Именно так и были введены понятия синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе.
Теоремы косинусов и синусов
Но косинусы и синусы могут применяться не только в прямоугольных треугольниках. Чтобы найти значение тупого или острого угла, стороны любого треугольника, достаточно применить теорему косинусов и синусов.
Теорема косинусов довольно проста: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними».
Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему часто расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности».
Производные
Производная - математический инструмент, показывающий, как быстро меняется функция относительно изменения ее аргумента. Производные используются , геометрии, и , ряде технических дисциплин.
При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса. Производной синуса является косинус, а косинуса - синус, но со знаком «минус».
Применение в математике
Особенно часто синусы и косинусы используются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними.
Удобство синусов и косинусов нашло свое отражение и в технике. Углы и стороны было просто оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая сложные фигуры и объекты на «простые» треугольники. Инженеры и , часто имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили немало времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов.
Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов разных углов. В советское время некоторые преподаватели заставляли своих подопечных страницы таблиц Брадиса наизусть.
Радиан - угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов.
Градус (в геометрии) - 1/360-я часть окружности или 1/90-я часть прямого угла.
π = 3.141592653589793238462… (приблизительное значение числа Пи).
Таблица косинусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Угол х (в градусах) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Угол х (в радианах) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.
Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .
Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.
Зависимость между тангенсом и котангенсом
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.
Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .
1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .
Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
Пример 1
Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;
Показать решение
Решение
Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:
\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Это уравнение имеет 2 решения:
\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .
Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3
Пример 2
Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .
Показать решение
Решение
Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .
Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.
ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .
Одним из разделов математики, с которыми школьники справляются с наибольшими трудностями, является тригонометрия. Неудивительно: для того чтобы свободно овладеть этой областью знаний, требуется наличие пространственного мышления, умение находить синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы по формулам, упрощать выражения, уметь применять в вычислениях число пи. Помимо этого, нужно уметь применять тригонометрию при доказательстве теорем, а это требует либо развитой математической памяти, либо умения выводить непростые логические цепочки.
Истоки тригонометрии
Знакомство с данной наукой следует начать с определения синуса, косинуса и тангенса угла, однако прежде необходимо разобраться, чем вообще занимается тригонометрия.
Исторически главным объектом исследования данного раздела математической науки были прямоугольные треугольники. Наличие угла в 90 градусов дает возможность осуществлять различные операции, позволяющие по двум сторонам и одному углу либо по двум углам и одной стороне определять значения всех параметров рассматриваемой фигуры. В прошлом люди заметили эту закономерность и стали активно ею пользоваться при строительстве зданий, навигации, в астрономии и даже в искусстве.
Начальный этап
Первоначально люди рассуждали о взаимоотношении углов и сторон исключительно на примере прямоугольных треугольников. Затем были открыты особые формулы, позволившие расширить границы употребления в повседневной жизни данного раздела математики.
Изучение тригонометрии в школе сегодня начинается с прямоугольных треугольников, после чего полученные знания используются учениками в физике и решении абстрактных тригонометрических уравнений, работа с которыми начинается в старших классах.
Сферическая тригонометрия
Позже, когда наука вышла на следующий уровень развития, формулы с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали использоваться в сферической геометрии, где действуют иные правила, а сумма углов в треугольнике всегда больше 180 градусов. Данный раздел не изучается в школе, однако знать о его существовании необходимо как минимум потому, что земная поверхность, да и поверхность любой другой планеты, является выпуклой, а значит, любая разметка поверхности будет в трёхмерном пространстве «дугообразной».
Возьмите глобус и нитку. Приложите нитку к двум любым точкам на глобусе, чтобы она оказалась натянутой. Обратите внимание - она обрела форму дуги. С такими формами и имеет дело сферическая геометрия, применяющаяся в геодезии, астрономии и других теоретических и прикладных областях.
Прямоугольный треугольник
Немного узнав про способы применения тригонометрии, вернемся к базовой тригонометрии, чтобы в дальнейшем разобраться, что такое синус, косинус, тангенс, какие расчёты можно с их помощью выполнять и какие формулы при этом использовать.
Первым делом необходимо уяснить понятия, относящиеся к прямоугольному треугольнику. Во-первых, гипотенуза - это сторона, лежащая напротив угла в 90 градусов. Она является самой длинной. Мы помним, что по теореме Пифагора её численное значение равно корню из суммы квадратов двух других сторон.
Например, если две стороны равны 3 и 4 сантиметрам соответственно, длина гипотенузы составит 5 сантиметров. Кстати, об этом знали ещё древние египтяне около четырех с половиной тысяч лет назад.
Две оставшиеся стороны, которые образуют прямой угол, носят название катетов. Кроме того, надо помнить, что сумма углов в треугольнике в прямоугольной системе координат равняется 180 градусам.
Определение
Наконец, твердо понимая геометрическую базу, можно обратиться к определению синуса, косинуса и тангенса угла.
Синусом угла называется отношение противолежащего катета (т. е. стороны, располагающейся напротив нужного угла) к гипотенузе. Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Запомните, что ни синус, ни косинус не может быть больше единицы! Почему? Потому что гипотенуза - это по умолчанию самая длинная Каким бы длинным ни был катет, он будет короче гипотенузы, а значит, их отношение всегда будет меньше единицы. Таким образом, если у вас в ответе к задаче получился синус или косинус со значением, большим, чем 1, ищите ошибку в расчётах или рассуждениях. Этот ответ однозначно неверен.
Наконец, тангенсом угла называется отношение противолежащей стороны к прилежащей. Тот же самый результат даст деление синуса на косинус. Посмотрите: в соответствии с формулой мы делим длину стороны на гипотенузу, после чего делим на длину второй стороны и умножаем на гипотенузу. Таким образом, мы получаем то же самое соотношение, что и в определении тангенса.
Котангенс, соответственно, представляет собой отношение прилежащей к углу стороны к противолежащей. Тот же результат мы получим, разделив единицу на тангенс.
Итак, мы рассмотрели определения, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, и можем заняться формулами.
Простейшие формулы
В тригонометрии не обойтись без формул - как найти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А ведь именно это требуется при решении задач.
Первая формула, которую необходимо знать, начиная изучать тригонометрию, говорит о том, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице. Данная формула является прямым следствием теоремы Пифагора, однако позволяет сэкономить время, если требуется узнать величину угла, а не стороны.
Многие учащиеся не могут запомнить вторую формулу, также очень популярную при решении школьных задач: сумма единицы и квадрата тангенса угла равна единице, деленной на квадрат косинуса угла. Присмотритесь: ведь это то же самое утверждение, что и в первой формуле, только обе стороны тождества были поделены на квадрат косинуса. Выходит, простая математическая операция делает тригонометрическую формулу совершенно неузнаваемой. Помните: зная, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, правила преобразования и несколько базовых формул вы в любой момент сможете сами вывести требуемые более сложные формулы на листе бумаги.
Формулы двойного угла и сложения аргументов
Ещё две формулы, которые требуется выучить, связаны со значениями синуса и косинуса при сумме и разности углов. Они представлены на рисунке ниже. Обратите внимание, что в первом случае оба раза перемножается синус и косинус, а во втором складывается попарное произведение синуса и косинуса.
Также существуют формулы, связанные с аргументами в виде двойного угла. Они полностью выводятся из предыдущих - в качестве тренировки попробуйте получить их самостоятельно, приняв угол альфа равным углу бета.
Наконец, обратите внимание, что формулы двойного угла можно преобразовать так, чтобы понизить степень синуса, косинуса, тангенса альфа.
Теоремы
Двумя основными теоремами в базовой тригонометрии являются теорема синусов и теорема косинусов. С помощью этих теорем вы легко сможете понять, как найти синус, косинус и тангенс, а значит, и площадь фигуры, и величину каждой стороны и т. д.
Теорема синусов утверждает, что в результате деления длины каждой из сторон треугольника на величину противолежащего угла мы получим одинаковое число. Более того, это число будет равно двум радиусам описанной окружности, т. е. окружности, содержащей все точки данного треугольника.
Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, проецируя её на любые треугольники. Оказывается, из суммы квадратов двух сторон вычесть их произведение, умноженное на двойной косинус смежного им угла - полученное значение окажется равно квадрату третьей стороны. Таким образом, теорема Пифагора оказывается частным случаем теоремы косинусов.
Ошибки по невнимательности
Даже зная, что такое синус, косинус и тангенс, легко совершить ошибку из-за рассеянности внимания или ошибки в простейших расчётах. Чтобы избежать таких ошибок, ознакомимся с наиболее популярными из них.
Во-первых, не следует преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные до получения окончательного результата - можно и ответ оставить в виде обыкновенной дроби, если в условии не оговорено обратное. Такое преобразование нельзя назвать ошибкой, однако следует помнить, что на каждом этапе задачи могут появиться новые корни, которые по задумке автора должны сократиться. В этом случае вы напрасно потратите время на излишние математические операции. Особенно это актуально для таких значений, как корень из трёх или из двух, ведь они встречаются в задачах на каждом шагу. То же касается округлений «некрасивых» чисел.
Далее, обратите внимание, что к любому треугольнику применима теорема косинусов, но не теорема Пифагора! Если вы по ошибке забудете вычесть удвоенное произведение сторон, умноженное на косинус угла между ними, вы не только получите совершенно неверный результат, но и продемонстрируете полное непонимание предмета. Это хуже, чем ошибка по невнимательности.
В-третьих, не путайте значения для углов в 30 и 60 градусов для синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов. Запомните эти значения, ведь синус 30 градусов равен косинусу 60, и наоборот. Их легко перепутать, вследствие чего вы неизбежно получите ошибочный результат.
Применение
Многие ученики не спешат приступать к изучению тригонометрии, поскольку не понимают её прикладного смысла. Что такое синус, косинус, тангенс для инженера или астронома? Это понятия, благодаря которым можно вычислить расстояние до далёких звёзд, предсказать падение метеорита, отправить исследовательский зонд на другую планету. Без них нельзя построить здание, спроектировать автомобиль, рассчитать нагрузку на поверхность или траекторию движения предмета. И это только самые очевидные примеры! Ведь тригонометрия в том или ином виде используется повсюду, начиная от музыки и заканчивая медициной.
В заключение
Итак, вы синус, косинус, тангенс. Вы можете использовать их в расчётах и успешно решать школьные задачи.
Вся суть тригонометрии сводится к тому, что по известным параметрам треугольника нужно вычислить неизвестные. Всего этих параметров шесть: длины трёх сторон и величины трёх углов. Всё различие в задачах заключается в том, что даются неодинаковые входные данные.
Как найти синус, косинус, тангенс исходя из известных длин катетов или гипотенузы, вы теперь знаете. Поскольку эти термины обозначают не что иное, как отношение, а отношение - это дробь, главной целью тригонометрической задачи становится нахождение корней обычного уравнения либо же системы уравнений. И здесь вам поможет обычная школьная математика.
Таблица значений тригонометрических функций
Примечание
. В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/".
См. также полезные материалы:
Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.
Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах
Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.
Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.
Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .
Примеры
:
1. Синус пи
.
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.
2. Косинус пи
.
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.
3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 - 360 градусов (часто встречающиеся значения)
|
значение угла α (градусов) |
значение угла α (через число пи) |
sin
(синус) |
cos
(косинус) |
tg
(тангенс) |
ctg
(котангенс) |
sec
(секанс) |
cosec
(косеканс) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет - клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.
Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градусов
(цифровые значения "как по таблицам Брадиса")
| значение угла α (градусов) | значение угла α в радианах | sin (синус) | cos (косинус) | tg (тангенс) | ctg (котангенс) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Если построить единичную окружность с центром в начале координат, и задать произвольное значение аргумента x 0 и отсчитать от оси Ox угол x 0, то этому углу на единичной окружности соответствует некоторая точка A (рис. 1) а ее проекцией на ось Ох будет точка М . Длина отрезка ОМ равна абсолютной величине абсциссы точки A . Данному значению аргумента x 0 сопоставлено значение функции y = cos x 0 как абсциссы точки А . Соответственно точка В (x 0 ; у 0) принадлежит графику функции у = cos х (рис. 2). Если точка А находится правее оси Оу , токосинус будет положителен, если же левее – отрицателен. Но в любом случае точка А не может покинуть окружность. Поэтому косинус лежит в пределах от –1 до 1:
–1 = cos x = 1.
Дополнительный поворот на любой угол, кратный 2p , возвращает точку A на то же место. Поэтому функция у = cos x p :
cos (x + 2p ) = cos x.
Если взять два значения аргумента, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, x и –x , найти на окружности соответствующие точки A x и А -x . Как видно на рис. 3 их проекцией на ось Ох является одна и та же точка М . Поэтому
cos (–x ) = cos (x ),
т.е. косинус – четная функция, f (–x ) = f (x ).
Значит, можно исследовать свойства функции y = cos х на отрезке , а затем учесть ее четность и периодичность.
При х = 0 точка А лежит на оси Ох , ее абсцисса равна 1, а потому cos 0 = 1. С увеличением х точка А передвигается по окружности вверх и влево, ее проекция, естественно, только влево, и при х = p /2 косинус становится равен 0. Точка A в этот момент поднимается на максимальную высоту, а затем продолжает двигаться влево, но уже снижаясь. Ее абсцисса все убывает, пока не достигнет наименьшего значения, равного –1 при х = p . Таким образом, на отрезке функция у = cos х монотонно убывает от 1 до –1 (рис. 4, 5).
Из четности косинуса следует, что на отрезке [–p , 0] функция монотонно возрастает от –1 до 1, принимая нулевое значение при х = –p /2. Если взять несколько периодов, получится волнообразная кривая (рис. 6).
Итак, функция y = cos x принимает нулевые значения в точках х = p /2 + kp , где k – любое целое число. Максимумы, равные 1, достигаются в точках х = 2kp , т.е. с шагом 2p , а минимумы, равные –1, в точках х = p + 2kp .
Функция y = sin х.
На единичной окружности углу x 0 соответствует точка А (рис. 7), а ее проекцией на ось Оу будет точка N . З начение функции у 0 = sin x 0 определяется как ордината точки А . Точка В (угол x 0 , у 0) принадлежит графику функции y = sin x (рис. 8). Ясно, что функция y = sin x периодическая, ее период равен 2p :
sin (x + 2p ) = sin (x ).
Для двух значений аргумента, х и – , проекции соответствующих им точек А x и А -x на ось Оу расположены симметрично относительно точки О . Поэтому
sin (–x ) = –sin (x ),
т.е. синус – функция нечетная, f(–x ) = –f(x ) (рис. 9).
Если точку A повернуть относительно точки О на угол p /2 против часовой стрелки (другими словами, если угол х увеличить на p /2), то ее ордината в новом положении будет равна абсциссе в старом. А значит,
sin (x + p /2) = cos x.
Иначе, синус – это косинус, «запоздавший» на p /2, поскольку любое значение косинуса «повторится» в синусе, когда аргумент возрастет на p /2. И чтобы построить график синуса, достаточно сдвинуть график косинуса на p /2 вправо (рис. 10). Чрезвычайно важное свойство синуса выражается равенством
Геометрический смысл равенства виден из рис. 11. Здесь х – это половина дуги АВ , а sin х – половина соответствующей хорды. Очевидно, что по мере сближения точек А и В длина хорды все точнее приближается к длине дуги. Из того же рисунка несложно извлечь неравенство
|sin x | x|, верное при любом х .
Формулу (*) математики называют замечательным пределом. Из нее, в частности, следует, что sin х » х при малых х .
Функции у = tg х, у = ctg х . Две другие тригонометрические функции – тангенс и котангенс проще всего определить как отношения уже известных нам синуса и косинуса:
Как синус и косинус, тангенс и котангенс – функции периодические, но их периоды равны p , т.е. они вдвое меньше, чем у синуса и косинуса. Причина этого понятна: если синус и косинус оба поменяют знаки, то их отношение не изменится.
Поскольку в знаменателе тангенса находится косинус, то тангенс не определен в тех точках, где косинус равен 0, – когда х = p /2 + kp . Во всех остальных точках он монотонно возрастает. Прямые х = p /2 + kp для тангенса являются вертикальными асимптотами. В точках kp тангенс и угловой коэффициент составляют 0 и 1 соответственно (рис. 12).
Котангенс не определен там, где синус равен 0 (когда х = kp ). В остальных точках он монотонно убывает, а прямые х = kp – его вертикальные асимптоты. В точках х = p /2 + kp котангенс обращается в 0, а угловой коэффициент в этих точках равен –1 (рис. 13).
Четность и периодичность.
Функция называется четной, если f (–x ) = f (x ). Функции косинус и секанс – четные, а синус, тангенс, котангенс и косеканс – функции нечетные:
| sin (–α) = – sin α | tg (–α) = – tg α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| sec (–α) = sec α | cosec (–α) = – cosec α |
Свойства четности вытекают из симметричности точек P a и Р - a (рис. 14) относительно оси х . При такой симметрии ордината точки меняет знак ((х ; у ) переходит в (х ; –у)). Все функции – периодические, синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2p , а тангенс и котангенс – p :
| sin (α + 2kπ ) = sin α | cos (α + 2kπ ) = cos α |
| tg (α + kπ ) = tg α | ctg (α + kπ ) = ctg α |
| sec (α + 2kπ ) = sec α | cosec (α + 2kπ ) = cosec α |
Периодичность синуса и косинуса следует из того, что все точки P a + 2 kp , где k = 0, ±1, ±2,…, совпадают, а периодичность тангенса и котангенса – из того, что точки P a + kp поочередно попадают в две диаметрально противоположные точки окружности, дающие одну и ту же точку на оси тангенсов.
Основные свойства тригонометрических функций могут быть сведены в таблицу:
| Функция | Область определения | Множество значений | Четность | Участки монотонности (k = 0, ± 1, ± 2,…) |
| sin x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | нечетная | возрастает при x О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2),убывает при x О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p /2) |
| cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | четная | Возрастает приx О ((2k – 1) p , 2kp ),убывает приx О (2kp , (2k + 1) p ) |
| tg x | x № p /2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | нечетная | возрастает приx О ((2k – 1) p /2, (2k + 1) p /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | нечетная | убывает приx О (kp , (k + 1) p ) |
| sec x | x № p /2 + p k | (–Ґ , –1] И [+1, +Ґ ) | четная | Возрастает приx О (2kp , (2k + 1) p ),убывает приx О ((2k – 1) p , 2kp ) |
| cosec x | x № p k | (–Ґ , –1] И [+1, +Ґ ) | нечетная | возрастает приx О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p /2),убывает приx О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2) |
Формулы приведения.
По этим формулам значение тригонометрической функции аргумента a , где p /2 a p , можно привести к значению функции аргумента a , где 0 a p /2, как той же, так и дополнительной к ней.
| Аргумент b |  – a
|
+ a | p – a | p + a | + a | + a | 2p – a |
| sin b | cos a | cos a | sin a | –sin a | –cos a | –cos a | –sin a |
| cos b | sin a | –sin a | –cos a | –cos a | –sin a | sin a | cos a |
Поэтому в таблицах тригонометрических функций даются значения только для острых углов, причем достаточно ограничиться, например, синусом и тангенсом. В таблице даны только наиболее употребительные формулы для синуса и косинуса. Из них легко получить формулы для тангенса и котангенса. При приведении функции от аргумента вида kp /2 ± a , где k – целое число, к функции от аргумента a :
1) название функции сохраняется, если k четное, и меняется на «дополнительное», если k нечетное;
2) знак в правой части совпадает со знаком приводимой функции в точке kp /2 ± a , если угол a острый.
Например, при приведении ctg (a – p /2) убеждаемся, что a – p /2 при 0 a p /2 лежит в четвертом квадранте, где котангенс отрицателен, и, по правилу 1, меняем название функции: ctg (a – p /2) = –tg a .
Формулы сложения.
Формулы кратных углов.
Эти формулы выводятся прямо из формул сложения:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a ;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Формулу для cos 3a использовал Франсуа Виет при решении кубического уравнения. Он же впервые нашел выражения для cos n a и sin n a , которые позже были получены более простым путем из формулы Муавра.
Если в формулах двойного аргумента заменить a на a /2, их можно преобразовать в формулы половинных углов:
Формулы универсальной подстановки.
Используя эти формулы, выражение, включающее разные тригонометрические функции от одного и того же аргумента, можно переписать как рациональное выражение от одной функции tg (a /2), это бывает полезно при решении некоторых уравнений:
 |
|
 |
 |
Формулы преобразования сумм в произведения и произведений в суммы.
До появления компьютеров эти формулы использовались для упрощения вычислений. Расчеты производились с помощью логарифмических таблиц, а позже – логарифмической линейки, т.к. логарифмы лучше всего приспособлены для умножения чисел, поэтому все исходные выражения приводили к виду, удобному для логарифмирования, т.е. к произведениям, например:
2 sin a sin b = cos (a – b ) – cos (a + b );
2 cos a cos b = cos (a – b ) + cos (a + b );
2 sin a cos b = sin (a – b ) + sin (a + b ).
Формулы для функций тангенса и котангенса можно получить из вышеприведенных.
Формулы понижения степени.
Из формул кратного аргумента выводятся формулы:
| sin 2 a = (1 – cos 2a )/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| sin 3 a = (3 sin a – sin 3a )/4; | cos 3 a = (3 cosa + cos 3 a )/4. |
С помощью этих формул тригонометрические уравнения можно приводить к уравнениям более низких степеней. Таким же образом можно вывести и формулы понижения для более высоких степеней синуса и косинуса.
| Производные и интегралы тригонометрических функций | |
| (sin x )` = cos x ; | (cos x )` = –sin x ; |
| (tg x )` = ; | (ctg x )` = – ; |
| т sin x dx = –cos x + C ; | т cos x dx = sin x + C ; |
| т tg x dx = –ln |cos x | + C ; | т ctg x dx = ln |sin x | + C ; |
Каждая тригонометрическая функция в каждой точке своей области определения непрерывна и бесконечно дифференцируема. Причем и производные тригонометрических функций являются тригонометрическими функциями, а при интегрировании получаются так же тригонометрические функции или их логарифмы. Интегралы от рациональных комбинаций тригонометрических функций всегда являются элементарными функциями.
Представление тригонометрических функций в виде степенных рядов и бесконечных произведений.
Все тригонометрические функции допускают разложение в степенные ряды. При этом функции sin x b cos x представляются рядами. сходящимися для всех значений x :
Эти ряды можно использовать для получения приближенных выражений sin x и cos x при малых значениях x :
при |x| p /2;
при 0 x| p
(B n – числа Бернулли).
Функции sin x и cos x могут быть представлены в виде бесконечных произведений:
Тригонометрическая система 1, cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , ¼, cos nx , sin nx , ¼, образует на отрезке [–p , p ] ортогональную систему функций, что дает возможность представления функций в виде тригонометрических рядов.
определяются как аналитические продолжения соответствующих тригонометрических функций действительного аргумента в комплексную плоскость. Так, sin z и cos z могут быть определены с помощью рядов для sin x и cos x , если вместо x поставить z :
Эти ряды сходятся по всей плоскости, поэтому sin z и cos z – целые функции.
Тангенс и котангенс определяются формулами:
Функции tg z и ctg z – мероморфные функции. Полюсы tg z и sec z – простые (1-го порядка) и находятся в точках z = p /2 + p n, полюсы ctg z и cosec z – также простые и находятся в точках z = p n , n = 0, ±1, ±2,…
Все формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного аргумента, справедливы и для комплексного. В частности,
sin (–z ) = –sin z ,
cos (–z ) = cos z ,
tg (–z ) = –tg z ,
ctg (–z ) = –ctg z,
т.е. четность и нечетность сохраняются. Сохраняются и формулы
sin (z + 2p ) = sin z , (z + 2p ) = cos z , (z + p ) = tg z , (z + p ) = ctg z ,
т.е. периодичность также сохраняется, причем периоды такие же, как и для функций действительного аргумента.
Тригонометрические функции могут быть выражены через показательную функцию от чисто мнимого аргумента:
Обратно, e iz выражается через cos z и sin z по формуле:
e iz = cos z + i sin z
Эти формулы носят название формул Эйлера . Леонард Эйлер вывел их в 1743.
Тригонометрические функции также можно выразить через гиперболические функции:
z = –i sh iz , cos z = ch iz, z = –i th iz.
где sh, ch и th – гиперболические синус, косинус и тангенс.
Тригонометрические функции комплексного аргумента z = x + iy , где x и y – действительные числа, можно выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительных аргументов, например:
sin (x + iy ) = sin x ch y + i cos x sh y ;
cos (x + iy ) = cos x ch y + i sin x sh y .
Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Например:
Если неизвестный угол входит в уравнение как аргумент тригонометрических функций, то уравнение называется тригонометрическим. Такие уравнения настолько часто встречаются, что методы их решения очень подробно и тщательно разработаны. С помощью различных приемов и формул тригонометрические уравнения сводят к уравнениям вида f (x ) = a , где f – какая-либо из простейших тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс или котангенс. Затем выражают аргумент x этой функции через ее известное значение а.
Поскольку тригонометрические функции периодичны, одному и тому же а из области значений отвечает бесконечно много значений аргумента, и решения уравнения нельзя записать в виде одной функции от а . Поэтому в области определения каждой из основных тригонометрических функций выделяют участок, на котором она принимает все свои значения, причем каждое только один раз, и находят функцию, обратную ей на этом участке. Такие функции обозначают, приписывая приставку агс (дуга) к названию исходной функции, и называют обратными тригонометрическими функциями или просто аркфункциями.
Обратные тригонометрические функции.
Для sin х , cos х , tg х и ctg х можно определить обратные функции. Они обозначаются соответственно arcsin х (читается «арксинус x »), arcos x , arctg x и arcctg x . По определению, arcsin х есть такое число у, что
sin у = х .
Аналогично и для других обратных тригонометрических функций. Но такое определение страдает некоторой неточностью.
Если отразить sin х , cos х , tg х и ctg х относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов координатной плоскости, то функции из-за их периодичности становятся неоднозначными: одному и тому же синусу (косинусу, тангенсу, котангенсу) соответствует бесконечное количество углов.
Чтобы избавиться от неоднозначности, из графика каждой тригонометрической функции выделяется участок кривой шириной p , при этом нужно, чтобы между аргументом и значением функции соблюдалось взаимно однозначное соответствие. Выбираются участки около начала координат. Для синуса в качестве «интервала взаимной однозначности» берется отрезок [–p /2, p /2], на котором синус монотонно возрастает от –1 до 1, для косинуса – отрезок , для тангенса и котангенса соответственно интервалы (–p /2, p /2) и (0, p ). Каждая кривая на интервале отражается относительно биссектрисы и теперь можно определить обратные тригонометрические функции. Например, пусть задано значение аргумента x 0 , такое, что 0 Ј x 0 Ј 1. Тогда значением функции y 0 = arcsin x 0 будет единственное значение у 0 , такое, что –p /2 Ј у 0 Ј p /2 и x 0 = sin y 0 .
Таким образом, арксинус – это функция агсsin а , определенная на отрезке [–1, 1] и равная при каждом а такому значению a , –p /2 a p /2, что sin a = а. Ее очень удобно представлять с помощью единичной окружности (рис. 15). При |а| 1 на окружности есть две точки с ординатой a , симметричные относительно оси у. Одной из них отвечает угол a = arcsin а , а другой – угол p - а. С учетом периодичности синуса решение уравнения sin x = а записывается следующим образом:
х = (–1) n arcsin a + 2p n ,
где n = 0, ±1, ±2,...
Так же решаются другие простейшие тригонометрические уравнения:
cos x = a , –1 = a = 1;
x = ±arcos a + 2p n ,
где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 16);
tg х = a ;
x = arctg a + p n,
где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 17);
ctg х = а ;
х = arcctg a + p n,
где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 18).
Основные свойства обратных тригонометрических функций:
arcsin х (рис. 19): область определения – отрезок [–1, 1]; область значений – [–p /2, p /2], монотонно возрастающая функция;
arccos х (рис. 20): область определения – отрезок [–1, 1]; область значений – ; монотонно убывающая функция;
arctg х (рис. 21): область определения – все действительные числа; область значений – интервал (–p /2, p /2); монотонно возрастающая функция; прямые у = –p /2 и у = p /2 – горизонтальные асимптоты;
arcctg х (рис. 22): область определения – все действительные числа; область значений – интервал (0, p ); монотонно убывающая функция; прямые y = 0 и у = p – горизонтальные асимптоты.
Для любого z = x + iy , где x и y – действительные числа, имеют место неравенства
½|e\e y –e -y | ≤|sin z |≤½(e y +e -y),
½|e y –e -y | ≤|cos z |≤½(e y +e -y ),
из которых при y ® Ґ вытекают асимптотические формулы (равномерно относительно x )
|sin z | » 1/2 e |y| ,
|cos z | » 1/2 e |y| .
Тригонометрические функции возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу тригонометрическими функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции – Евклида , Архимеда , Аполлония Пергского и других, однако эти соотношения не являлись самостоятельным объектом исследования, так что тригонометрические функции как таковые ими не изучались. Они рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец 4 – 2-я половина 3 вв. до н. э.), Гиппархом (2 в. до н. э.), Менелаем (1 в. н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.) при решении сферических треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30" с точностью до 10 –6 . Это была первая таблица синусов. Как отношение функция sin a встречается уже у Ариабхаты (конец 5 в.). Функции tg a и ctg a встречаются у аль-Баттани (2-я половина 9 – начало 10 вв.) и Абуль-Вефа (10 в.), который употребляет также sec a и cosec a . Ариабхата знал уже формулу (sin 2 a + cos 2 a ) = 1, а также формулы sin и cos половинного угла, с помощью которых построил таблицы синусов для углов через 3°45"; исходя из известных значений тригонометрических функций для простейших аргументов. Бхаскара (12 в.) дал способ построения таблиц через 1 с помощью формул сложения. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций различных аргументов в произведение выводились Региомонтаном (15 в.) и Дж. Непером в связи с изобретением последним логарифмов (1614). Региомонтан дал таблицу значений синуса через 1". Разложение тригонометрических функций в степенные ряды получено И.Ньютоном (1669). В современную форму теорию тригонометрических функций привел Л.Эйлер (18 в.). Ему принадлежат их определение для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией и ортогональности системы синусов и косинусов.
