Примеры математических моделей. Основные понятия

ЛИТЕРАТУРА

Специальный курс

Классификация уравнений с отклоняющимся аргументом. Основная начальная задача для дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Метод последовательного интегрирования. Принцип сглаживания решений уравнений с запаздыванием.

Принцип сжатых отображений. Теорема существования и единственности решения основной начальной задачи для уравнения с несколькими сосредоточенными запаздываниями. Теорема существования и единственности решения основной начальной задачи для системы уравнений с распределенным запаздыванием.

Непрерывная зависимость решений основной начальной задачи от параметров и начальных функций.

Специфические особенности решений уравнений с запаздыванием. Возможность продолжения решения. Перенос начальной точки. Теоремы о достаточных условиях интервалов слипания. Теорема о достаточных условиях нелокальной продолжимости решений.

Вывод формулы общего решения для линейной системы с линейными запаздываниями.

Исследование уравнений с запаздыванием на устойчивость. Метод Д-разбиений.

Применение метода функционалов для исследования устойчивости. Теоремы Н. Н. Красовского о необходимых и достаточных условиях устойчивости. Примеры построения функционалов.

Применение метода функций Ляпунова для исследования устойчивости. Теоремы Разумихина об устойчивости и асимптотической устойчивости решений уравнений с запаздыванием. Примеры построения функций Ляпунова.

Построение программных управлений с запаздыванием в системах с полной и неполной информацией. Теоремы В. И. Зубова. Задача распределения капиталовложений по отраслям.

Построение оптимальных программных управлений в линейном и нелинейном случаях. Принцип максимума Понтрягина.

Стабилизация системы уравнений управлением с постоянными запаздываниями. Влияние переменного запаздывания на одноосную стабилизацию твердого тела.

Жабко А.П., Зубов Н.В., Прасолов А.В. Методы исследования систем с последействием. Л., 1984. Деп. ВИНИТИ, № 2103-84.
Зубов В. И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Сер. математика. 1958. № 6.
Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., 1959
Малкин И. Г. Теория устойчивости движения.
Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи мат. наук. 1949. Т.4, № 5.
Прасолов А. В. Аналитические и численные исследования динамических процессов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995.
Прасолов А. В. Математические модели динамики в экономике. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та экономики и финансов, 2000.
Чижова О. Н. Построение решения и устойчивость систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Л., 1988. Деп. в ВИНИТИ, № 8896-В88.
Чижова О. Н. Стабилизация твердого тела с учетом линейного запаздывания // Вестник СПбГУ. Сер.1. 1995. Вып.4, № 22.
Чижова О. Н. О нелокальной продолжимости уравнений с переменным запаздыванием // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 18. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000.
Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1971.

Задачи для уравнений с запаздыванием . Рассмотрим вариационную задачу , в которой управление определяет фазовую траекторию системы задачей Коши для уравнения с запаздыванием

В литературе подобные системы часто называют системами одновременных уравнений , имея в виду, что здесь зависимая переменная одного уравнения может появляться одновременно в виде переменной (но уже в качестве независимой) в одном или нескольких других уравнениях. В таком случае теряет смысл традиционное различение зависимых и независимых переменных . Вместо этого устанавливается различие между двумя видами переменных. Это, во-первых, совместно зависимые переменные (эндогенные), влияние которых друг на друга должно быть исследовано (матрица А в слагаемом Ay t) приведенной выше системы уравнений). Во-вторых, предопределенные переменные, которые, как предполагается, оказывают влияние на первые, однако не испытывают их воздействия это переменные с запаздыванием, т.е. лаговые (второе слагаемое) и определенные вне данной системы уравнений экзогенные переменные.

Однако для уравнений с общими типами запаздываний и более или менее далеко проведенной спецификацией остатка еще нет достаточно надежных результатов в отношении свойств оценок . Так, оценки по регрессионному уравнению с общей полиномиальной формой лага обладают лишь свойством состоятельности , а оценки уравнений с запаздывающими экзогенными и эндогенными переменными , полученные трехшаговым методом наименьших квадратов (при наличии одновременно марковской остаточной автокорреляции первого порядка), не имеют даже этого свойства (см. анализ оценок в ).

Таким образом, при синтезе быстродействующих систем максимальной степени устойчивости требуется вначале определить оптимальные значения bj, обеспечивающие выполнение условия (4), ng и со, (1=1, п), затем найти с/, при которых имеет место (10) и, наконец, из условия (12) при заданной величине С выбрать dj. Замечание. Из рассмотренных случаев следует, что структуры оптимальных решений т.е количество действительных и комплексно-сопряженных пар крайних правых корней, их сочетание, кратности и, как следствие, виды годографов оптимальных решений в плоскости Х зависят от размерности управления m (1.2) и при достаточно больших порядках п (1.1) не зависят от самого значения п. Иными словами, каждому заданному m соответствует свое вполне определенное количество структур оптимальных решений , которое достигается при значении порядка уравнения (1.1) п = п и увеличение порядка п > п не приводит к появлению новых оптимальных решений . Поэтому при п - > QO сохраняется возможность синтеза систем максимальной степени устойчивости, структуры оптимальных решений определяются только т, а значит при любом m известны структуры оптимальных решений и для объектов с запаздыванием.

Возникает вопрос как определить значение временного запаздывания для каждого показателя Для определения соответствующих временных лагов используем корреляционный анализ динамических рядов данных. Основным критерием для определения временного лага является наибольшая величина коэффициента взаимной корреляции временных рядов показателей с различным периодом запаздывания их влияния на показатель инфляции. В итоге уравнение примет следующий вид

Кроме этого, метод С. д. позволяет связать в рамках одной модели многочисленные потоки (физич. управляющие и информационные) и уровни аккумулирующих эти потоки величин капиталовложения и выбытие фондов с уровнем осн. капитала, рождаемость и смертность в различных возрастных группах с возрастной структурой населения и т. п. Метод С. д. наиболее ярко отражает структуру всех принимаемых во внимание обратных связен, хорошо приспособлен для учёта разных форм запаздывания, приводит к системе дифференциальных уравнений , решения к-рых поддаются достаточно простому экспериментальному исследованию на устойчивость в зависимости от параметров и структуры самой модели.

Правила можно также группировать и по другим признакам. Например, по инструменту денежно-кредитной политики (валютный курс , процентная ставка или денежный агрегат) по наличию внешнеэкономических связей (открытая или закрытая экономика) по включению прогноза экономических переменных в уравнение правила (перспективные и адаптивные правила) по величине запаздывания (с лагами или без) и т.д.

Модель с учетом времени полета снаряда и запаздыванием в переносе огня позволяет учесть задержки в системе раннего предупреждения о ракетном нападении противника и системе космического наблюдения за его ракетно-ядерными силами. Эта модель определяется уравнениями

Блок постоянного запаздывания БПЗ-2М предназначен для воспроизведения функций с запаздывающим аргументом в аналоговых вычислительных устройствах может быть использован при электрическом моделировании процессов, связанных с транспортировкой вещества или передачей энергии, при аппроксимации уравнений сложных многоемкостных объектов уравнениями первого и второго порядка с запаздыванием.

Функции решений представляют собой формулировку линии поведения, определяющую, каким образом имеющаяся информация об уровнях приводит к выбору решений , связанных с величинами текущих темпов потока. Функция решения может иметь форму несложного уравнения, которое определяет простейшую реакцию ма-териалопотока на состояния одного или двух уровней (так, производительность транспортной системы часто может быть адекватно выражена количеством товаров в пути, представляющим собой уровень, и константой - средним запаздыванием на время транспортировки). С другой стороны, функция решения может представлять собой длинную и детально разработанную цепь вычислений, выполняемых с учетом изменения ряда дополнительных условий.

В настоящее время нет полной ясности, какой же фактор является основной причиной отсутвия диатомей в Байкале в холодные периоды. В [Грачев и др., 1997] решающим считается повышенная мутность воды, вызванная работой горных ледников, в [Гавшин и др., 1998] основным считается падение концентрации кремния из-за замирания эрозии в водосборном бассейне Байкала. Модификация модели (2.6.7), где первое уравнение описывает динамику концентрации кремния, а второе - динамику осаждения взвеси, позволяет предложить подход для выявления того, какой же из этих двух факторов является главным. Ясно, что из-за огромной водной массы биота Байкала будет реагировать на изменения климата с некоторым запаздыванием по сравнению с реакцией растительных сообществ водосборного бассейна озера. Поэтому диатомовый сигнал должен запаздывать по сравнению с палинологическим сигналом. Если главная причина исчезновения диатомей в холодные периоды - уменьшение концентрации кремния, то такие запаздывания реакций на потепления должны быть больше, чем запаздывания для похолоданий. Если же главный фактор подавления диатомей - мутность из-за ледников, то запаздывание реакций на похолодания должно быть примерно таким же или даже большим, чем на потепления.

Последнее уравнение, как мог заметить читатель, описывает поведение простейшего самонастраивающегося механизма с пропорциондль-ным запаздыванием. В приложении А приводится блок-схема, по-

Процедура PERRON97 определяет в этом случае дату излома как 1999 07, если выбор даты излома осуществляется по минимуму -статистики критерия единичного корня ta=i, взятому по всем возможным моментам излома. При этом ta= = - 3.341, что выше 5% критического уровня - 5.59, и гипотеза единичного корня не отвергается. Наибольшее запаздывание разностей, включаемых в правую часть уравнений, выбирается равным 12 в рамках применения процедуры GS для редукции модели с 10% уровнем значимости.

Отступая на шаг, ты находишь себя, затем перемещаешься - и теряешь себя.

У. Эко. Маятник Фуко

Если запаздывание τ

в уравнении (10) зависит от времени t

(τ = τ (t )) , то началь-

Предварительные терминологические замечания. В настоящей главе речь пойдет о моделях, основанных на использовании так называемых запаздывающих дифференциальных уравнений. Это частный случай уравнений с отклоняющимися коэффициентами 1 . Синонимы для этого класса - функционально-дифференциальные уравнения или дифференциальноразностные уравнения. Однако мы предпочтем пользоваться термином «запаздывающее уравнение» или «уравнение с запаздыванием».

Термин «дифференциально-разностные уравнения» нам еще встретится в другом контексте при анализе численных методов для решения уравнений в частных производных и к содержанию данной главы отношения не имеет.

Пример экологической модели с запаздыванием. В книге В. Воль- терры приведен следующий класс наследственных моделей, учитывающих не только текущую численность популяций хищника и жертвы, по и предысторию развития популяции:

Общая теория уравнений с отклоняющимся аргументом изложена в работах: Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М. : Мир, 1967; Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М. : Наука, 1972; Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984; ЭлъсгольцЛ. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.; Наука, 1971.

Система (7.1) относится к классу интегрально-дифференциальных моделей типа Вольтерры, К { , К 2 - некоторые интегральные ядра.

Кроме того, в литературе встречаются другие модификации системы «хищник - жертва»:

Формально в системе (7.2) нет интегральных членов, в отличие от системы (7.1), но прирост биомассы хищника зависит от численности видов не в данный момент, а в момент времени t - Т (под Т часто понимается время жизни одного поколения хищника, возраст половой зрелости самок хищника и т.п. в зависимости от содержательного смысла моделей). О моделях типа «хищник - жертва» см. также параграф 7.5.

Казалось бы, что системы (7.1) и (7.2) имеют существенно разные свойства. Однако при специальном виде ядер в системе (7.1), а именно 8-функции /?,(0 - t) = 8(0 - 7^), К 2 (д - t) = 8(0 - Т 2) (о 8-функции приходится говорить несколько условно, так как обобщенные функции определяются как линейные функционалы, а приведенная система нелинейная), система (7.1) переходит в систему

Очевидно, что система (7.3) устроена следующим образом: изменение численности популяции зависит не только от текущей численности, но и от численности предыдущего поколения. С другой стороны, система (7.3) есть частный случай интегрально-дифференциального уравнения (7.1).

Линейное уравнение с запаздыванием (запаздывающего типа). Линейным дифференциальным уравнением запаздывающего типа с постоянными коэффициентами будем называть уравнение вида

где а, Ь,Т - постоянные; Т> 0;/- заданная (непрерывная) функция на К. Без ограничения общности в системе (7.4) можно положить Т= 1.

Очевидно, если задана функция x(t) y t е [-Г; 0], то возможно определить x(t) при t е и являющаяся решением уравнения (7.4) для t> 0. Если ф(?) имеет производную в точке t = 0, причем ф(0) = ато производная 4"(ф|,_ 0 является двусторонней.

Доказательство. Определим функцию x(t) = ф(?) на |-7"; 0]. Тогда решение (7.4) можно записать на в виде

(применена формула вариации постоянных). Поскольку функция x(t ) известна на . Этот процесс можно продолжать неограниченно. Обратно, если функция х(?) удовлетворяет формуле (7.5) на ). Выясним вопрос об устойчивости данного решения. Подставляя в уравнение (7.8) малые отклонения от единичного решения z(t) = 1 - y(t), получим

Данное уравнение исследовано в литературе , где показано, что оно удовлетворяет ряду теорем о существовании периодических решений. При а = тт/2 происходит бифуркация Хопфа - из неподвижной точки рождается предельный цикл. Данный вывод делается из результатов анализа линейной части уравнения (7.9). Характеристическое уравнение для линеаризованного уравнения Хатчинсона имеет вид

Отметим, что изучение на устойчивость линеаризованного уравнения (7.8) есть исследование устойчивости стационарного состояния y(t) = 0. При этом получается А, = а > 0, стационарное состояние неустойчиво и бифуркации Хопфа не происходит.

Далее Дж. Хейл показывает, что уравнение (7.9) имеет ненулевое периодическое решение для каждого а > л/2. Кроме того, там без доказательства приведена теорема о существовании периодического решения (7.9) с любым периодом р > 4.

ВВЕДЕНИЕ

Министерство образования Российской Федерации

Международный образовательный консорциум «Открытое образование»

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

АНО «Евразийский открытый институт»

Э.А.Геворкян

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

Учебное пособие Руководство по изучению дисциплины

Сборник задач по дисциплине Учебная программа по дисциплине

Москва 2004

Геворкян Э.А. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ: Учебное пособие, руководство по изучению дисциплины, сборник задач по дисциплине, учебная программа по дисциплине / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики – М.: 2004. – 79 с.

Геворкян Э.А., 2004

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2004


Учебное пособие
Введение.................................................................................................................................


1.1 Классификация дифференциальных уравнений с
отклоняющимся аргументом. Постановка начальной задачи................................................
1.2 Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Метод шагов. ........
1.3 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными и с запаздывающим аргументом.......................................................................
1.4 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом................
1.5 Дифференциальные уравнения Бернулли с запаздывающим аргументом. ...............
1.6 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
с запаздывающим аргументом..................................................................................................
ГЛАВА II. Периодические решения линейных дифференциальных уравнений
с запаздывающим аргументом..................................................................................................
2.1. Периодические решения линейных однородных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами и с запаздывающим аргументом......................................
2.2. Периодические решения линейных неоднородных дифференциальных
..................
2.3. Комплексная форма ряда Фурье....................................................................................
2.4. Отыскание частного периодического решения линейных неоднородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и запаздывающим
аргументом разложением правой части уравнения в ряд Фурье...........................................
ГЛАВА III. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
с запаздывающим аргументом..................................................................................................
3.1. Приближенный метод разложения неизвестной функции
с запаздывающим аргументом по степеням запаздывания....................................................
3.2. Приближенный метод Пуанкаре. ..................................................................................
ГЛАВА IV. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом,
появляющемся при решении некоторых экономических задач
с учетом временного лага...............................................................................................................

4.1. Экономический цикл Колецкого. Дифференциальное уравнение

с запаздывающим аргументом, описывающего изменение

запаса наличного капитала........................................................................................................
4.2. Характеристическое уравнение. Случай вещественных
корней характеристического уравнения...................................................................................
4.3. Случай комплексных корней характеристического уравнения.................................
4.4. Дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом,

(потребление пропорционально национальному доходу)......................................................
4.5. Дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом,
описывающего динамику национального дохода в моделях с лагами
(потребление экспоненциально растет с темпом прироста)...................................................
Литература..............................................................................................................................

Руководство по изучению дисциплины

2. Перечень основных тем.....................................................................................................
2.1. Тема 1. Основные понятия и определения. Классификация
дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. ...........................................
2.2. Тема 2. Постановка начальной задачи. Метод шагов решения
дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Примеры...........................
2.3. Тема 3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными и с запаздывающим аргументов. Примеры. ....................................................
2.4. Тема 4. Линейные дифференциальные уравнения

2.5. Тема 5. Дифференциальные уравнения Бернулли
с запаздывающим аргументом. Примеры. ...............................................................................
2.6. Тема 6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
с запаздывающим аргументом. Необходимые и достаточные условия. Примеры..............
2.7. Тема 7. Периодические решения линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и с запаздывающим аргументом.

2.8. Тема 8. Периодические решения линейных неоднородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и с запаздывающим аргументом.
Примеры. .....................................................................................................................................
2.9. Тема 9. Комплексная форма ряда Фурье. Отыскание частного периодического
решения линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с
запаздывающим аргументом разложением правой части уравнения в ряд Фурье.
Примеры. .....................................................................................................................................
2.10. Тема 10. Приближенное решение дифференциальных уравнений с
запаздывающим аргументом методом разложения функции от запаздывания
по степеням запаздывания. Примеры.......................................................................................
2.11. Тема 11. Приближенный метод Пуанкаре нахождения периодического
решения квазилинейных дифференциальных уравнений с малым параметром и
с запаздывающим аргументом. Примеры. ...............................................................................

2.12. Тема 12. Экономический цикл Колецкого. Дифференциальное уравнение

с запаздывающим аргументом для функции К(t), показывающей запас наличного

основного капитала в момент t..................................................................................................
2.13. Тема 13. Анализ характеристического уравнения, отвечающего
дифференциальному уравнению для функции K(t). ...............................................................
2.14. Тема 14. Случай комплексных решений характеристического уравнения
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Тема 15. Дифференциальное уравнение для функции у(t), показывающего

функция потребления имеет вид c(t -τ ) = (1 - α ) у (t -τ ), где α - постоянная норма
производственного накопления................................................................................................
2.16. Тема 16. Дифференциальное уравнение для функции y(t), показывающего
национальный доход в моделях с лагами капитальных вложений при условии, что
функция потребителя имеет вид c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) ...............................................................
Сборник задач по дисциплине...........................................................................................
Учебная программа по дисциплине.................................................................................

Учебное пособие

ВВЕДЕНИЕ

Введение

Настоящее учебное пособие посвящено изложению методов интегрирования дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, встречающихся в некоторых технических и экономических задачах.

Вышеуказанными уравнениями обычно описываются любые процессы с последействием (процессы с запаздыванием, с временной задержкой). Например, когда в исследуемом процессе значение интересующей нас величины в момент времени t зависит от величины x в момент времени t-τ , где τ – временной лаг (y(t)=f). Или, когда значение величины y в момент времени t зависит от значения этой же величины в момент вре-

мени t-τ (y(t)=f).

Процессы, описывающиеся дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом встречаются и в естественных, и в экономических науках. В последних это связано как с существованием временного лага в большинстве связях цикла общественного производства, так и с наличием инвестиционных лагов (период от начала проектирования объектов до ввода в действие на полную мощность), демографических лагов (период от рождения до вступления в трудоспособный возраст и начала трудовой деятельности после получения образования).

Учет временного лага при решении технических и экономических задач имеет важное значение, так как наличие лага может существенно повлиять на характер получаемых решений (например, при определенных условиях может привести к неустойчивости решений).

С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

ГЛАВА I. Метод шагов решения дифференциальных уравнений

с запаздывающим аргументом

1.1. Классификация дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Постановка начальной задачи

Определение 1 . Дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом называются дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция X(t) входит при различных значениях аргумента.

X(t) = f { t, x (t), x } ,


X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )] ,

X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )] , x [ t − τ


X(t) = f t, x (t ) , x (t) , x (t/2), x(t/2) .



(t )]

Определение 2. Дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом называется дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом, в котором производная наивысшего порядка от неизвестной функции входит при одинаковых значениях аргумента и этот аргумент не меньше, чем все аргументы неизвестной функции и ее производных, входящих в уравнение.

Заметим, что согласно определению 2, уравнения (1) и (3) при условиях τ (t ) ≥ 0 , t − τ (t ) ≥ 0 будут уравнениями с запаздывающим аргументом, уравнение (2) будет уравне-

нием с запаздывающим аргументом, если τ 1 ≥ 0 , τ 2 ≥ 0 , t ≥ τ 1 , t ≥ τ 2 , уравнение (4) есть уравнение с запаздывающим аргументом, так как t ≥ 0 .

Определение 3. Дифференциальным уравнением с опережающим аргументом называется дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом, в котором производная наивысшего порядка от неизвестной функции входит при одинаковых значениях аргумента и этот аргумент не больше остальных аргументов неизвестной функции и ее производных, входящих в уравнение.

Примеры дифференциальных уравнений с опережающим аргументом:

X (t) =

f { t, x(t), x[ t + τ (t) ] } ,

f [ t , x (t ), x (t + τ 1 ), x (t + τ 2 )] ,

f t , x (t ), x . (t ), x [ t + τ (t )] , x . [ t + τ



(t )] .

I. МЕТОД ШАГОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Определение 4. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, не являющиеся уравнениями с запаздывающим или опережающим аргументом называются дифференциальными уравнениями нейтрального типа.

Примеры дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа:

X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

Отметим, что аналогичная классификация применяется и для систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом заменой слова "функция" словом "вектор функция".

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом:


X (t) = f [ t, x(t) , x(t − τ ) ] ,

где τ ≥ 0 и t − τ ≥ 0 (фактически рассматриваем дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом). Основная начальная задача при решении уравнения (10) заключается в следующем: определить непрерывное решение X (t ) уравнения (10) для t > t 0 (t 0 –

фиксированное время) при условии, что X (t ) = ϕ 0 (t ) , когда t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 , где ϕ 0 (t ) – заданная непрерывная начальная функция. Сегмент [ t 0 − τ , t 0 ] называется начальным множеством, t 0 называется начальной точкой. Предполагается, что X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) (рис. 1).

X (t ) = ϕ 0 (t)

ная задача ставится следующим образом: найти решение уравнения (10) при t > t 0 , если известна начальная функция X (t ) = ϕ 0 t при t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 .

Пример. Найти решение уравнения.


X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
при t > t 0 = 0 , если начальная функция X (t ) = ϕ 0 (t ) при (t 0 − cos2 t 0 ) \|	t ≤ t0
t 0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

I. МЕТОД ШАГОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Пример. Найти решение уравнения


X (t) = f [ t, x(t) , x(t / 2 ) ]	при (t	−t	/ 2) \|
t > t 0 = 1 , если начальная функция X (t ) = ϕ t	при (t	−t	/ 2) \|	≤ t ≤ t

			t = 1		t = 1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Отметим, что начальная функция обычно задается или находится экспериментально (в основном в технических задачах).

1.2. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Метод шагов

Рассмотрим дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом.

Требуется найти решение уравнения (13) при t ≥ t 0 .

Для нахождения решения уравнения (13) при t ≥ t 0 будем пользоваться методом шагов (метод последовательного интегрирования).

Суть метода шагов состоит в том, что сначала найдем решение уравнения (13) для t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ , потом для t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ и т.д. При этом заметим, например, что так как в области t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ аргумент t − τ меняется в пределах t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0 , то в уравнении

(13) в данной области вместо x (t − τ ) можно взять начальную функцию ϕ 0 (t − τ ) . Тогда

получим, что для нахождения решения уравнения (13) в области t 0 ≤ t ≤ t 0		+ τ нужно ре-
шить обыкновенное дифференциальное уравнение без запаздывания в виде:
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
X (t) = f	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
при t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ	с начальным условием X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (см. рис. 1).
	найдя решение этой начальной задачи в виде X (t ) = ϕ 1 (t ) ,	можем поста-

вить задачу нахождения решения на отрезке t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ и т.д.

Итак имеем:

			0 (t − τ ) ] ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ		0 (t − τ ) ] ,
при t 0	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0 ) ,

	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ ) ] ,
при t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ ,			X (t 0 + τ ) = ϕ 1(t 0 + τ ) ,

	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ ) ] ,
при t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ ,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ) ,

	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ n (t − τ ) ] ,
при t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) τ , X (t 0 + n τ ) = ϕ n (t 0 + n τ ) ,
	ϕ i (t ) есть	решение рассматриваемой начальной		задачи на отрезке
t 0 + (i −1 ) τ ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I=1,2,3…n,…).

I. МЕТОД ШАГОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Такой метод шагов решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом (13) позволяет определить решение X (t ) на некотором конечном отрезке изменения t.

Пример 1. Методом шагов найти решение дифференциального уравнения 1-го порядка с запаздывающим аргументом

	(t) = 6 X (t − 1 )

в области 1 ≤ t ≤ 3 , если начальная функция при 0 ≤ t ≤ 1 имеет вид X (t ) = ϕ 0 (t ) = t .
Решение. Сначала найдем решение уравнения (19) в области 1 ≤ t ≤ 2 . Для этого в
(19) заменим X (t − 1) на ϕ 0 (t − 1) , т.е.
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = t\| t → t − 1 = t − 1
и учтем X (1) = ϕ 0 (1) = t \|

Итак в области 1 ≤ t ≤ 2 получим обыкновенное дифференциальное уравнение вида
	(t )= 6 (t − 1 )

или dx (t )	6 (t −1 ) .

Решая его с учетом (20), получим решение уравнения (19) при 1 ≤ t ≤ 2 в виде
X (t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1.
Для нахождения решения в области 2 ≤ t ≤ 3 в уравнении (19) заменим X (t − 1) на
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 \| t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Тогда получим обыкновенное	дифференциальное
уравнение:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , X (2) = ϕ 1 (2) = 4 ,

решение которого имеет вид (Рис. 2)
X (t) = 6 (t − 2 ) 3 + 6 t − 8 .

Логистическое уравнение с запаздыванием по времени можно применить при изучении взаимодействий хищник - жертва.- Устойчивые предельные циклы в соответствии с логистическим уравнением.
Существование запаздывания по времени дает возможность- применить другой способ моделирования простой системы отношений хищник-жертва.

Этот способ основан на логистическом уравнении (разд. 6.9):

Таблица 10.1. Принципиальное сходство динамики численности, полученной «а модели Лотки-Вольтерры (и вообще на моделях типа хищник-жертва), с одной стороны, и иа логистической модели с запаздыванием по времени - с другой. В обоих случаях существует четырехфазиый цикл с максимумами (и минимумами) численности хищника, следующими за максимумами "(и минимумами) численности жертвы

Скорость роста популяции хищника в этом уравнении зависит от начальной численности (С) и удельной скорости роста, г-(К-С) I Kf где К - предельная плотность насыщения популяции хищника. Относительная скорость в свою очередь зависит от степени недоиспользования среды (К-С), которую в случае с популяцией хищника можно рассматривать как степень превышения потребностей хищника доступностью жертвы. Однако доступность жертвы и, следовательно, относительная скорость роста популяции хищника часто отражают плотность популяции хищника в некоторый предшествующий период времени (разд. 6.8.4). Другими словами, в реакции популяции хищника на собственную плотность может существовать запаздывание по времени:
dC „ л { К Cnow-Iag \
- - Г.Gnow j.
Если это запаздывание невелико или хищник размножается слишком медленно (т. е. величина г мала), то динамика такой популяции не будет заметно отличаться от описываемой простым логистическим уравнением (см. May, 1981а). Ho при умеренных или высоких значениях времени запаздывания и скорости размножения популяция совершает колебания с устойчивыми предельными циклами. Кроме того, если эти устойчивые предельные циклы возникают согласно логистическому уравнению с запаздыванием во времени, то их продолжительность (или «период») примерно в четыре раза превышает продолжи-

жертвы, для того чтобы понять механизм колебаний их численности.
Существует ряд примеров, полученных на природных популяциях, в которых можно обнаружить регулярные колебания численности хищников и жертв. Они обсуждаются в разд. 15.4; здесь нам будет полезен всего один пример (см. Keith, 1983). Колебания численности популяций зайца обсуждаются экологами, начиная с двадцатых годов нашего века, а охотники обнаружили их еще за 100 лет до того. Так например, американский заяц-беляк (Lepus americanus) в бореальных лесах Северной Америки имеет «10-летний цикл численности» (хотя на самом деле его продолжительность варьирует от 8 до 11 лет; рис. В). Заяц-беляк преобладает среди растительноядных животных этого района; он питается кончиками побегов многочисленных кустарников и небольших деревьев. Колебаниям его численности соответствуют колебания численности ряда хищников, в том числе рыси (Lynx canadensis). 10-летние циклы численности характерны также и для некоторых других растительноядных животных, а именно для воротничкового рябчика и американской дикуши. В популяциях зайца нередко происходят 10- 30-кратные изменения численности, а при благоприятных условиях могут наблюдаться и 100-кратные изменения. Эти колебания производят особенно большое впечатление, когда происходят практически одновременно на огромной территории от Аляски до Ньюфаундленда.
Снижение численности зайца-беляка сопровождается низкой рождаемостью, низкой выживаемостью молоди, потерей веса и низкой скоростью роста; все эти явления можно воспроизвести в эксперименте, ухудшая условия питания. Кроме того, прямые наблюдения действительно подтверждают снижение доступности корма в периоды максимальной численности зайца. Хотя, быть может, более важно то, что на сильное объедание растения отвечают образованием побегов с высоким содержанием ядовитых веществ, что делает их несъедобными для зайцев. И особенно важно то, что растения остаются защищенными таким способом в течение 2-3 лет после сильного обгрызания. Это приводит к задержке между началом снижений численности зайца и восстановлением его кормовых запасов, равной примерно 2,5 года. Два с половиной года - и есть то самое запаздывание во времени, составляющее четверть продолжительности одного цикла, что в точности соответствует предсказаниям на простых моделях. Итак, существует, по-видимому, между популяцией зайца и популяциями растений взаимодействие, снижающее численность зайцев и происходящее с запаздыванием по времени, что и обусловливает циклические колебания.
Хищники же, скорее всего, следуют за колебаниями численности зайца, а не вызывают их. Все же колебания, вероятно, выражены более отчетливо благодаря высокому отношению числа хищников к числу жертв в период снижения численности зайца, а также благодаря их низкому отношению в период, следующий за минимумом численности зайцев, когда они, опережая хищника, восстанавливают свою численность (рис. 10.5). Кроме того, при высоком отношении численности рыси к численности зайца хищник поедает большое количество боровой дичи, а при низком отношении - небольшое. Это, по-видимому, служит причиной возникновения колебаний численности у этих второстепенных растительноядных животных (рис. 10.5). Таким образом, взаимодействие зайцы-растения вызывает колебания численности зайца, хищники повторяют колебания их численности, а циклы численности у растительноядных птиц вызваны изменениями пресса хищников. Очевидно, что простые модели полезны для понимания механизмов колебаний численности в природных условиях, но эти модели объясняют возникновение этих колебаний далеко не полностью.

Исполнение желаний