Se numește progresie aritmetică o succesiune numerică, al cărei membru, începând cu al doilea, este egal cu cel anterior adăugat la același număr pentru o anumită secvență. Numărul care se adaugă la numărul anterior de fiecare dată este apelat diferența de progresie aritmeticăși este desemnat prin scrisoare d.
Deci, succesiunea de numere este un 1; a 2; a 3; a 4; a 5; ... și n va fi o progresie aritmetică dacă a 2 = a 1 + d;
a 3 = a 2 + d;
Ei spun că este dată o progresie aritmetică cu un termen comun și n. Notează: se dă o progresie aritmetică (a n).
O progresie aritmetică este considerată definită dacă primul său termen este cunoscut a 1 si diferenta d.
Exemple de progresie aritmetică
Exemplul 1. 1; 3; 5; 7; 9;...Aici a 1 = 1; d = 2.
Exemplul 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;... Iată a 1 = 8; d =-3.
Exemplul 3.-16; -12; -8; -4;... Aici a 1 = -16; d = 4.
Rețineți că fiecare termen al progresiei, începând cu al doilea, este egal cu media aritmetică a termenilor învecinați.
În 1 exemplu al doilea mandat 3 =(1+5): 2; aceste. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; al treilea membru 5 =(3+7): 2;
adică a 3 = (a 2 + a 4) : 2.
Deci formula este valabilă:
Dar, de fapt, fiecare membru al unei progresii aritmetice, începând cu al doilea, este egal cu media aritmetică nu numai a membrilor săi vecini, ci și echidistant din membrii săi, adică
Să ne întoarcem exemplu 2. Număr -1 este al patrulea termen al unei progresii aritmetice și este la fel de îndepărtat de primul și de al șaptelea termen (a 1 = 8 și 7 = -10).
Conform formulei (**) avem:
Să derivăm formula n- al treilea termen al unei progresii aritmetice.
Deci, obținem al doilea termen al progresiei aritmetice dacă adăugăm diferența la primul d; obținem al treilea termen dacă adăugăm diferența la al doilea d sau adăugați două diferențe la primul termen d; obținem al patrulea termen dacă adăugăm diferența la al treilea d sau adăugați trei diferențe la prima dși așa mai departe.
Ai ghicit: a 2 = a 1 + d;
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;
…………………….
a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.
Formula rezultată un n = o 1 + (n-1) d (***)
numit formulanal treilea termen al unei progresii aritmetice.
Acum să vorbim despre cum să găsim suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. Să notăm această sumă cu S n.
Rearanjarea locurilor termenilor nu modifică valoarea sumei, deci poate fi scrisă în două moduri.
S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n și
S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1
Să adăugăm aceste două egalități termen cu termen:
2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …
Valorile din paranteze sunt egale între ele, deoarece sunt sumele termenilor egal distanțați ai seriei, ceea ce înseamnă că putem scrie: 2S n = n· (a 1 + a n).
Primim formula sumele primeintermenii unei progresii aritmetice.
Dacă înlocuim a n cu valoarea a 1 + (n-1) d folosind formula (***), obținem o altă formulă pentru suma primelor n termenii unei progresii aritmetice.
Matematica are propria ei frumusețe, la fel ca pictura și poezia.
Om de știință rus, mecanic N.E. Jukovski
Probleme foarte frecvente la examenele de admitere la matematică sunt probleme legate de conceptul de progresie aritmetică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să aveți o bună cunoaștere a proprietăților progresiei aritmetice și să aveți anumite abilități în aplicarea lor.
Să ne amintim mai întâi proprietățile de bază ale unei progresii aritmetice și să prezentăm cele mai importante formule, asociat cu acest concept.
Definiţie. Secvență de numere, în care fiecare termen ulterior diferă de cel precedent prin acelaşi număr, numită progresie aritmetică. În acest caz numărulnumită diferență de progresie.
Pentru o progresie aritmetică sunt valabile următoarele formule:
, (1)
Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii aritmetice, iar formula (2) reprezintă proprietatea principală a unei progresii aritmetice: fiecare termen al progresiei coincide cu media aritmetică a termenilor săi învecinați și .
Rețineți că tocmai din cauza acestei proprietăți progresia luată în considerare este numită „aritmetică”.
Formulele (1) și (2) de mai sus sunt generalizate după cum urmează:
(3)
Pentru a calcula suma primul termenii unei progresii aritmeticese folosește de obicei formula
(5) unde și .
Dacă luăm în considerare formula (1), apoi din formula (5) rezultă
Dacă notăm , atunci
Unde . Deoarece , formulele (7) și (8) sunt o generalizare a formulelor corespunzătoare (5) și (6).
În special , din formula (5) rezultă, Ce
Puțin cunoscută de majoritatea studenților este proprietatea progresiei aritmetice, formulată prin următoarea teoremă.
Teorema. Dacă, atunci
Dovada. Dacă, atunci
Teorema a fost demonstrată.
De exemplu, folosind teorema, se poate arăta că
Să trecem la considerarea exemplelor tipice de rezolvare a problemelor pe tema „Progresie aritmetică”.
Exemplul 1. Lăsați-l să fie. Găsiți .
Soluţie. Aplicând formula (6), obținem . Din moment ce și , apoi sau .
Exemplul 2. Fie de trei ori mai mare, iar când se împarte la cât, rezultatul este 2, iar restul este 8. Să se determine și .
Soluţie. Din condițiile exemplului, urmează sistemul de ecuații
Deoarece , , și , atunci din sistemul de ecuații (10) obținem
Soluția acestui sistem de ecuații este și .
Exemplul 3. Găsiți dacă și .
Soluţie. Conform formulei (5) avem sau . Cu toate acestea, folosind proprietatea (9), obținem .
Din moment ce și , apoi din egalitate urmează ecuația sau .
Exemplul 4. Găsiți dacă .
Soluţie.Conform formulei (5) avem
Cu toate acestea, folosind teorema, putem scrie
De aici și din formula (11) obținem .
Exemplul 5. Având în vedere: . Găsiți .
Soluţie. De atunci. Cu toate acestea, prin urmare.
Exemplul 6. Să , și . Găsiți .
Soluţie. Folosind formula (9), obținem . Prin urmare, dacă , atunci sau .
Din moment ce și atunci aici avem un sistem de ecuații
Rezolvând care, obținem și .
Rădăcina naturală a ecuației este .
Exemplul 7. Găsiți dacă și .
Soluţie. Deoarece conform formulei (3) avem că , atunci sistemul de ecuații rezultă din condițiile problemei
Dacă înlocuim expresiaîn a doua ecuație a sistemului, atunci obținem sau .
Rădăcinile unei ecuații pătratice suntȘi .
Să luăm în considerare două cazuri.
1. Fie , atunci . De când și , atunci .
În acest caz, conform formulei (6), avem
2. Dacă , atunci , și
Raspuns: si.
Exemplul 8. Se ştie că şi. Găsiți .
Soluţie.Ținând cont de formula (5) și de condiția exemplului, scriem și .
Aceasta implică sistemul de ecuații
Dacă înmulțim prima ecuație a sistemului cu 2 și apoi o adăugăm la a doua ecuație, obținem
Conform formulei (9) avem. În acest sens, rezultă din (12) sau .
De când și , atunci .
Raspuns: .
Exemplul 9. Găsiți dacă și .
Soluţie. Din moment ce , și după condiție , atunci sau .
Din formula (5) se știe, Ce . De atunci.
Prin urmare, aici avem un sistem de ecuații liniare
De aici obținem și . Ținând cont de formula (8), scriem .
Exemplul 10. Rezolvați ecuația.
Soluţie. Din ecuația dată rezultă că . Să presupunem că , , și . În acest caz.
Conform formulei (1), putem scrie sau .
Deoarece , atunci ecuația (13) are singura rădăcină potrivită .
Exemplul 11. Găsiți valoarea maximă cu condiția ca și .
Soluţie. Din moment ce , atunci progresia aritmetică luată în considerare este în scădere. În acest sens, expresia capătă valoarea maximă atunci când este numărul termenului minim pozitiv al progresiei.
Să folosim formula (1) și faptul, că și . Apoi obținem asta sau .
De când , atunci sau . Cu toate acestea, în această inegalitatecel mai mare număr natural, De aceea .
Dacă valorile lui și sunt înlocuite în formula (6), obținem .
Raspuns: .
Exemplul 12. Determinați suma tuturor numerelor naturale din două cifre care, atunci când sunt împărțite la numărul 6, lasă un rest de 5.
Soluţie. Să notăm prin mulțimea tuturor numerelor naturale de două cifre, adică. . În continuare, vom construi o submulțime formată din acele elemente (numere) ale mulțimii care, împărțite la numărul 6, dau un rest de 5.
Usor de instalat, Ce . Evident, că elementele ansambluluiformează o progresie aritmetică, în care și .
Pentru a stabili cardinalitatea (numărul de elemente) mulțimii, presupunem că . Deoarece și , rezultă din formula (1) sau . Ținând cont de formula (5), obținem .
Exemplele de mai sus de rezolvare a problemelor nu pot pretinde în niciun caz a fi exhaustive. Acest articol este scris pe baza unei analize a metodelor moderne de rezolvare a problemelor tipice pe o anumită temă. Pentru un studiu mai aprofundat al metodelor de rezolvare a problemelor legate de progresia aritmetică, este indicat să consultați lista de literatură recomandată.
1. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Pace și educație, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.
3. Medynsky M.M. Un curs complet de matematică elementară în probleme și exerciții. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. – 208 p.
Mai ai întrebări?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Subiect: Progresii aritmetice și geometrice
Clasă: 9
Sistem de antrenament: material pentru pregătirea studiului temelor de algebră și etapa pregătitoare pentru promovarea examenului OGE
Ţintă: formarea conceptelor de progresie aritmetică și geometrică
Sarcini: predați să distingeți între tipurile de progresie, predați corect, folosiți formule
Progresie aritmetică denumește o succesiune de numere (termeni ai unei progresii)
în care fiecare termen ulterior se deosebește de cel anterior printr-un termen nou, care se mai numește și pas sau diferență de progresie.
Astfel, prin specificarea pasului de progresie și a primului său termen, puteți găsi oricare dintre elementele acestuia folosind formula
1) Fiecare membru al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea număr, este media aritmetică a membrilor anteriori și următori ai progresiei
Este adevărat și invers. Dacă media aritmetică a termenilor impari (pari) adiacenți ai unei progresii este egală cu termenul care se află între ei, atunci această succesiune de numere este o progresie aritmetică. Folosind această declarație, este foarte ușor să verifici orice secvență.
De asemenea, prin proprietatea progresiei aritmetice, formula de mai sus poate fi generalizată la următoarele
Acest lucru este ușor de verificat dacă scrieți termenii în dreapta semnului egal
Este adesea folosit în practică pentru a simplifica calculele în probleme.
2) Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice se calculează folosind formula
Amintiți-vă bine formula pentru suma unei progresii aritmetice este indispensabilă în calcule și se găsește destul de des în situații de viață simple.
3) Dacă trebuie să găsiți nu întreaga sumă, ci o parte a secvenței pornind de la al-lea termen, atunci următoarea formulă de sumă vă va fi utilă
4) De interes practic este găsirea sumei n termeni ai unei progresii aritmetice pornind de la numărul k-lea. Pentru a face acest lucru, utilizați formula
Aflați al patruzecilea termen al progresiei aritmetice 4;7;...
Soluţie:
Dupa starea pe care o avem
Să stabilim pasul de progres
Folosind o formulă binecunoscută, găsim al patruzecelea termen al progresiei
O progresie aritmetică este dată de al treilea și al șaptelea termen. Găsiți primul termen al progresiei și suma celor zece.
Soluţie:
Să notăm elementele date ale progresiei folosind formulele
O progresie aritmetică este dată de un numitor și unul dintre termenii săi. Găsiți primul termen al progresiei, suma celor 50 de termeni ai săi începând de la 50 și suma primilor 100.
Soluţie:
Să notăm formula pentru al sutelea element al progresiei
și găsește-l pe primul
Pe baza primului, găsim al 50-lea termen al progresiei
Aflarea sumei părții din progresie
și suma primelor 100
Suma progresiei este 250. Aflați numărul de termeni ai progresiei aritmetice dacă:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Soluţie:
Să scriem ecuațiile în termenii primului termen și al pasului de progresie și să le determinăm
Înlocuim valorile obținute în formula sumei pentru a determina numărul de termeni din sumă
Efectuăm simplificări
și rezolvați ecuația pătratică
Dintre cele două valori găsite, doar numărul 8 se potrivește condițiilor problemei. Astfel, suma primilor opt termeni ai progresiei este 111.
Rezolvați ecuația
1+3+5+...+x=307.
Soluţie:
Această ecuație este suma unei progresii aritmetice. Să scriem primul său termen și să găsim diferența în progresie
Înlocuim valorile găsite în formula pentru suma progresiei pentru a găsi numărul de termeni
Ca și în sarcina anterioară, vom efectua simplificări și vom rezolva ecuația pătratică
O alegem pe cea mai logică dintre cele două valori. Avem că suma a 18 termeni ai progresiei cu valorile date a1=1, d=2 este egală cu Sn=307.
Exemple de rezolvare a problemelor: Progresie aritmetică
Problema 1
Echipa de studenți s-a contractat să așeze plăci ceramice pe podea în holul clubului de tineret cu o suprafață de 288 m2 Dobândind experiență, studenții au așezat cu 2 m2 mai mult în fiecare zi următoare, începând din a doua, decât pe cea de-a doua. ziua precedentă, iar aprovizionarea lor cu gresie a fost suficientă pentru exact 11 zile de muncă. Planificând ca productivitatea muncii să crească în același mod, maistrul a stabilit că va dura încă 5 zile pentru finalizarea lucrării. Câte cutii de gresie ar trebui să comande dacă 1 cutie este suficientă pentru 1,2 m2 de podea și sunt necesare 3 cutii pentru a înlocui gresia de calitate scăzută?
Soluţie
După condiţiile problemei, este clar că vorbim de o progresie aritmetică în care să fie
а1=х, Sn=288, n=16
Apoi folosim formula: Sn= (2a1+d(n-1))*n/0,86=200mmHg. Artă.
288=(2x+2*15)*16/2
Să calculăm câți m2 elevi vor așeza în 11 zile: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m2
288-143=145m2 ramasi dupa 11 zile de munca, i.e. timp de 5 zile
145/1.2=121 (aproximativ) cutii trebuie comandate pentru 5 zile.
121+3=124 cutii trebuie comandate tinand cont de defecte
Răspuns: 124 de cutii
Problema 2
După fiecare mișcare a pistonului pompei de vid, 20% din aerul din acesta este îndepărtat din vas. Să determinăm presiunea aerului din interiorul vasului după șase mișcări ale pistonului, dacă presiunea inițială a fost de 760 mm Hg. Artă.
Soluţie
Deoarece după fiecare mișcare a pistonului 20% din aerul disponibil este îndepărtat din vas, 80% din aer rămâne. Pentru a afla presiunea aerului din vas după următoarea mișcare a pistonului, trebuie să înmulțiți presiunea mișcării anterioare a pistonului cu 0,8.
Avem o progresie geometrică al cărei prim termen este 760 și numitorul ei este 0,8. Numărul care exprimă presiunea aerului din vas (în mm Hg) după șase mișcări ale pistonului este al șaptelea termen al acestei progresii. Este egal cu 760*0,86=200mmHg. Artă.
Raspuns: 200 mmHg.
Este dată o progresie aritmetică, în care al cincilea și al zecelea termeni sunt egali cu 38 și, respectiv, 23. Aflați al cincisprezecelea termen al progresiei și suma primilor zece termeni.
Soluţie:
Aflați numărul de termeni ai progresiei aritmetice 5,14,23,...,, dacă al ei termen este 239.
Soluţie:
Găsi numărul de termeni ai unei progresii aritmetice este 9,12,15,...,, dacă suma ei este 306.
Soluţie:
Găsiți x pentru care numerele x-1, 2x-1, x2-5 formează o progresie aritmetică
Soluţie:
Să găsim diferența dintre 1 și 2 termeni ai progresiei:
d=(2x-1)-(x-1)=x
Să găsim diferența dintre 2 și 3 termeni ai progresiei:
d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4
Deoarece diferența este aceeași, atunci termenii progresiei pot fi echivalați:
Când se verifică în ambele cazuri, se obține o progresie aritmetică
Răspuns: la x=-1 și x=4
Progresia aritmetică este dată de al treilea și al șaptelea termeni a3=5; a7=13. Găsiți primul termen al progresiei și suma celor zece.
Soluţie:
Pe prima o scadem din a doua ecuatie, ca rezultat gasim pasul de progresie
a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, apoi d=2
Înlocuim valoarea găsită în oricare dintre ecuații pentru a găsi primul termen al progresiei aritmetice
Calculăm suma primilor zece termeni ai progresiei
S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100
Răspuns: a1=1; S10=100
Într-o progresie aritmetică al cărei prim termen este -3,4 și a cărei diferență este 3, găsiți al cincilea și al unsprezecelea termeni.
Deci știm că a1 = -3,4; d = 3. Aflați: a5, a11-.
Soluţie. Pentru a afla al n-lea termen al unei progresii aritmetice, folosim formula: an = a1+ (n – 1)d. Avem:
a5 = a1 + (5 – 1)d = -3,4 + 4 3 = 8,6;
a11 = a1 + (11 – 1)d = -3,4 + 10 3 = 26,6.
După cum puteți vedea, în acest caz, soluția nu este dificilă.
Al doisprezecelea termen al unei progresii aritmetice este 74, iar diferența este -4. Găsiți al treizeci și patrulea termen al acestei progresii.
Ni se spune că a12 = 74; d = -4 și trebuie să găsim a34-.
În această problemă, nu este posibil să se aplice imediat formula an = a1 + (n – 1)d, deoarece Primul termen a1 este necunoscut. Această problemă poate fi rezolvată în mai mulți pași.
1. Folosind termenul a12 și formula pentru al n-lea termen, găsim a1:
a12 = a1 + (12 – 1)d, acum să simplificăm și să înlocuim d: a12 = a1 + 11 · (-4). Din această ecuație găsim a1: a1 = a12 – (-44);
Cunoaștem al doisprezecelea termen din enunțul problemei, așa că putem calcula cu ușurință a1
a1 = 74 + 44 = 118. Să trecem la pasul al doilea – calculul a34.
2. Din nou, folosind formula an = a1 + (n – 1)d, deoarece a1 este deja cunoscut, vom determina a34-,
a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14.
Răspuns: Al treizeci și patrulea termen al progresiei aritmetice este -14.
După cum puteți vedea, soluția pentru al doilea exemplu este mai complexă. Aceeași formulă este folosită de două ori pentru a obține răspunsul. Dar totul este atât de complicat. Soluția poate fi scurtată folosind formule suplimentare.
După cum sa menționat deja, dacă a1 este cunoscut în problemă, atunci formula pentru determinarea celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice este foarte convenabilă de utilizat. Dar, dacă condiția nu specifică primul termen, atunci o formulă care leagă termenul al n-lea de care avem nevoie și termenul ak specificat în problemă poate veni în ajutor.
an = ak + (n – k)d.
Să rezolvăm al doilea exemplu, dar folosind o formulă nouă.
Dat: a12 = 74; d = -4. Găsiți: a34-.
Folosim formula an = ak + (n – k)d. În cazul nostru va fi:
a34 = a12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14.
Răspunsul la problemă a fost obținut mult mai rapid, deoarece nu a fost nevoie să efectuați acțiuni suplimentare și să căutați primul termen al progresiei.
Folosind formulele de mai sus, puteți rezolva probleme de calcul a diferenței unei progresii aritmetice. Astfel, folosind formula an = a1 + (n – 1)d putem exprima d:
d = (an – a1) / (n – 1). Cu toate acestea, problemele cu un prim termen dat nu sunt întâlnite atât de des și pot fi rezolvate folosind formula noastră an = ak + (n – k)d, din care rezultă clar că d = (an – ak) / (n – k). Să ne uităm la această problemă.
Aflați diferența progresiei aritmetice dacă se știe că a3 = 36; a8 = 106.
Folosind formula pe care am obținut-o, soluția problemei poate fi scrisă pe o singură linie:
d = (a8 – a3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14.
Fără această formulă, rezolvarea problemei ar fi durat mult mai mult, pentru că ar trebui rezolvat un sistem de două ecuații.
Progresii geometrice
1. Formula celui de-al treilea termen (termen comun al progresiei).
2. Formula pentru suma primilor termeni ai progresiei: . Când se obișnuiește să vorbim despre o progresie geometrică convergentă; în acest caz, puteți calcula suma întregii progresii folosind formula.
3. Formula pentru „medie geometrică”: dacă , , sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, atunci prin definiție avem următoarele relații: fie sau 
.
Înțelegerea multor subiecte din matematică și fizică este asociată cu cunoașterea proprietăților serielor de numere. Scolarii din clasa a IX-a, când studiază materia „Algebră”, iau în considerare una dintre secvențele importante de numere - o progresie aritmetică. Prezentăm formulele de bază ale progresiei aritmetice (clasa a IX-a), precum și exemple de utilizare a acestora pentru rezolvarea problemelor.
Progresie algebrică sau aritmetică
Seria de numere care va fi discutată în acest articol este numită în două moduri diferite, prezentate în titlul acestui paragraf. Deci, prin progresie aritmetică în matematică înțelegem o serie de numere în care orice două numere adiacente diferă cu aceeași valoare, numită diferență. Numerele dintr-o astfel de serie sunt de obicei notate cu litere cu un indice întreg mai mic, de exemplu, a1, a2, a3 și așa mai departe, unde indicele indică numărul elementului seriei.
Ținând cont de definiția de mai sus a progresiei aritmetice, putem scrie următoarea egalitate: a2-a1 =...=an-an-1=d, aici d este diferența progresiei algebrice și n este orice număr întreg. Dacă d>0, atunci ne putem aștepta ca fiecare membru ulterior al seriei să fie mai mare decât cel anterior, în acest caz vorbim de o progresie crescândă. Dacă d
Formule de progresie aritmetică (școala a IX-a)
Seria de numere în cauză, deoarece este ordonată și se supune unor legi matematice, are două proprietăți care sunt importante pentru utilizarea sa:
Prima formulă este ușor de înțeles, deoarece este o consecință directă a faptului că fiecare membru al seriei luate în considerare diferă de vecinul său prin aceeași diferență.
A doua formulă pentru o progresie aritmetică poate fi obținută notând că suma a1+an se dovedește a fi echivalentă cu sumele a2+an-1, a3+an-2 și așa mai departe. Într-adevăr, deoarece a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1 și an-1 = -d+an, înlocuind aceste expresii în sumele corespunzătoare, aflăm că vor fi la fel. Factorul n/2 din formula a 2-a (pentru Sn) apare datorită faptului că sumele de tip ai+1+an-i se dovedesc a fi exact n/2, aici i este un număr întreg cuprins între 0 și n/2 - 1.
Conform dovezilor istorice supraviețuitoare, formula pentru suma Sn a fost obținută pentru prima dată de Carl Gauss (celemul matematician german) când i s-a dat sarcina de la profesorul său de a adăuga primele 100 de numere.
Exemplu de problemă #1: găsiți diferența
Problemele în care întrebarea se pune astfel: cunoașterea formulelor unei progresii aritmetice, cum se află d (d), sunt cele mai simple care pot fi doar pentru această temă.
Să dăm un exemplu: având în vedere o succesiune numerică -5,-2, 1, 4, ..., este necesar să se determine diferența acesteia, adică d.
Acest lucru se poate face cât mai ușor: trebuie să luați două elemente și să scădeți pe cel mai mic din cel mai mare. În acest caz avem: d = -2 - (-5) = 3.
Pentru a fi sigur de răspunsul primit, se recomandă verificarea diferențelor rămase, deoarece succesiunea prezentată poate să nu satisfacă condiția de progresie algebrică. Avem: 1-(-2)=3 și 4-1=3. Aceste date indică faptul că am obținut rezultatul corect (d=3) și am demonstrat că seria de numere din enunțul problemei reprezintă într-adevăr o progresie algebrică.
Exemplu de problemă nr. 2: găsiți diferența, cunoscând doi termeni ai progresiei
Să luăm în considerare o altă problemă interesantă, care întreabă cum să găsim diferența. În acest caz, formula de progresie aritmetică trebuie utilizată pentru al n-lea termen. Deci, sarcina: având în vedere primul și al cincilea număr dintr-o serie care corespunde tuturor proprietăților unei progresii algebrice, de exemplu, acestea sunt numerele a1 = 8 și a5 = -10. Cum să găsești diferența d?
Ar trebui să începeți să rezolvați această problemă scriind o formulă generală pentru al n-lea element: an = a1+d*(-1+n). Acum puteți merge în două moduri: fie înlocuiți imediat numerele și lucrați cu ele, fie exprimați d, apoi treceți la a1 și a5 specific. Folosind ultima metodă, obținem: a5 = a1+d*(-1+5) sau a5 = 4*d+a1, ceea ce înseamnă că d = (a5-a1)/4. Acum puteți înlocui în siguranță datele cunoscute din condiție și puteți obține răspunsul final: d = (-10-8)/4 = -4,5.
Rețineți că, în acest caz, diferența de progres s-a dovedit a fi negativă, adică există o secvență descrescătoare de numere. Este necesar să acordați atenție acestui fapt atunci când rezolvați probleme pentru a nu confunda semnele „+” și „-”. Toate formulele date mai sus sunt universale, deci trebuie urmate întotdeauna indiferent de semnul numerelor cu care se efectuează operațiunile.
Un exemplu de rezolvare a problemei nr. 3: găsiți a1, cunoscând diferența și elementul
Să schimbăm puțin enunțul problemei. Să fie două numere: diferența d=6 și al 9-lea element al progresiei a9 = 10. Cum se află a1? Formulele pentru progresia aritmetică rămân neschimbate, să le folosim. Pentru numărul a9 avem următoarea expresie: a1+d*(9-1) = a9. De unde obținem cu ușurință primul element al seriei: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.
Un exemplu de rezolvare a problemei nr. 4: găsiți a1, cunoscând două elemente
Această versiune a problemei este o versiune complicată a celei anterioare. Esența este aceeași, este necesar să se calculeze a1, dar acum diferența d nu este cunoscută, iar în locul ei este dat un alt element al progresiei.
Un exemplu de acest tip de problemă este următorul: găsiți primul număr al unei secvențe despre care se știe că este o progresie aritmetică și că al 15-lea și al 23-lea elemente ale sale sunt 7 și, respectiv, 12.
Este necesar să rezolvăm această problemă scriind o expresie pentru al n-lea termen pentru fiecare element cunoscut din condiție, avem: a15 = d*(15-1)+a1 și a23 = d*(23-1)+a1. După cum puteți vedea, avem două ecuații liniare care trebuie rezolvate pentru a1 și d. Să facem asta: scădem prima din a doua ecuație, apoi obținem următoarea expresie: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. La derivarea ultimei ecuații, valorile lui a1 au fost omise, deoarece se anulează la scădere. Înlocuind datele cunoscute, găsim diferența: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.
Valoarea lui d trebuie înlocuită în orice formulă pentru un element cunoscut pentru a obține primul termen al șirului: a15 = 14*d+a1, din care: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = -1,75 .
Să verificăm rezultatul obținut pentru a face acest lucru, găsim a1 prin a doua expresie: a23 = d*22+a1 sau a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.
Un exemplu de rezolvare a problemei nr. 5: găsiți suma n elemente
După cum puteți vedea, până în acest moment, pentru rezolvare a fost folosită o singură formulă de progresie aritmetică (clasa a IX-a). Acum prezentăm o problemă, ale cărei soluții necesită cunoașterea celei de-a doua formule, adică pentru suma Sn.
Există următoarea serie ordonată de numere -1,1, -2,1, -3,1,..., trebuie să calculați suma primelor 11 elemente.
Din această serie este clar că este în scădere, iar a1 = -1,1. Diferența sa este egală cu: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Acum să definim al 11-lea termen: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. După finalizarea calculelor pregătitoare, puteți utiliza formula notă mai sus pentru suma, avem: S11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Deoarece toți termenii erau numere negative, suma lor are și semnul corespunzător.
Un exemplu de rezolvare a problemei nr. 6: găsiți suma elementelor de la n la m
Poate că acest tip de problemă este cea mai dificilă pentru majoritatea școlarilor. Să dăm un exemplu tipic: având în vedere o serie de numere 2, 4, 6, 8..., trebuie să găsiți suma de la al 7-lea la al 13-lea termen.
Formulele de progresie aritmetică (clasa 9) sunt folosite exact la fel ca în toate problemele anterioare. Se recomandă rezolvarea acestei probleme pas cu pas:
Să ajungem la soluție. La fel ca în cazul precedent, vom efectua calcule pregătitoare: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.
Să calculăm două sume: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Luați diferența și obțineți răspunsul dorit: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Rețineți că la obținerea acestei valori, suma a 6 elemente ale progresiei a fost folosită ca subtraendă, deoarece al 7-lea termen este inclus în suma S7-13.
Clasă: 9
Tip de lecție: lecție despre învățarea de material nou.
Obiectivul lecției: Formarea conceptului de progresie aritmetică ca unul dintre tipurile de secvențe, derivarea formulei pentru al n-lea termen, familiarizarea cu proprietățile caracteristice ale membrilor unei progresii aritmetice. Rezolvarea problemelor.
Obiectivele lecției:
- Educațional- introducerea conceptelor de progresie aritmetică; formule al n-lea termen;
- proprietate caracteristică pe care o au membrii progresiilor aritmetice. De dezvoltare
- - dezvolta capacitatea de a compara concepte matematice, de a găsi asemănări și diferențe, abilitatea de a observa, de a observa modele și de a raționa prin analogie; pentru a dezvolta capacitatea de a construi și interpreta un model matematic al unei situații reale. Educațional
- să promoveze interesul pentru matematică și aplicațiile acesteia, activitatea, capacitatea de a comunica și să-și apere opiniile cu rațiune.
Echipament: computer, proiector multimedia, prezentare (Anexa 1)
Manuale: Algebra 9, Yu.N Makarychev, N.G. Mindyuk, S.B. Suvorov, editat de S.A.
- Planul lecției:
- Moment organizatoric, stabilire a sarcinilor
- Actualizarea cunoștințelor, lucru oral
- Învățarea de materiale noi
- Consolidare primară
- Rezumând lecția
Teme pentru acasă
Pentru a crește claritatea și ușurința în lucrul cu materialul, lecția este însoțită de o prezentare. Cu toate acestea, aceasta nu este o cerință și aceeași lecție poate fi predată în sălile de clasă care nu sunt echipate cu echipamente multimedia. În acest scop, datele necesare pot fi pregătite pe tablă sau sub formă de tabele și afișe.
Progresul lecției
I. Moment organizatoric, enunţ de problemă.
Salutări.
Tema lecției de astăzi este progresia aritmetică. În această lecție vom afla ce este o progresie aritmetică, ce formă generală are, vom afla cum să distingem o progresie aritmetică de alte secvențe și să rezolvăm probleme care folosesc proprietățile progresiilor aritmetice.
Sirul () este dat de formula: =. Ce număr are membrul acestei secvențe dacă este 144? 225? 100? Sunt numerele 48 membri ai acestei secvențe? 49? 168?
Se știe despre secvența () că, 
. Cum se numește această metodă de specificare a unei secvențe? Găsiți primii patru termeni ai acestei secvențe.
Se știe despre succesiunea () care . Cum se numește această metodă de specificare a unei secvențe? Găsiți dacă?
III. Învățarea de materiale noi.
Progresia este o succesiune de mărimi, fiecare dintre ele următoare fiind într-o anumită dependență de cea anterioară, comună întregii progresii. Termenul este acum în mare parte depășit și se găsește numai în combinații de „progresie aritmetică” și „progresie geometrică”.
Termenul „progresie” este de origine latină (progresie, care înseamnă „înainte”) și a fost introdus de autorul roman Boethius (secolul al VI-lea). În matematică, acest termen a fost folosit anterior pentru a se referi la orice succesiune de numere construită conform unei legi care permite ca această secvență să fie continuată la nesfârșit într-o direcție. În prezent, termenul „progresie” nu este folosit în sensul său larg inițial. Două tipuri importante de progresii - aritmetice și geometrice - și-au păstrat numele.
Luați în considerare șirurile de numere:
- 2, 6, 10, 14, 18, :.
- 11, 8, 5, 2, -1, :.
- 5, 5, 5, 5, 5, :.
Care este al treilea termen al primei secvențe? Membru ulterior? Membru anterior? Care este diferența dintre al doilea și primul termen? Al treilea și al doilea membru? Al patrulea și al treilea?
Dacă șirul este construit după aceeași lege, concluzionați care va fi diferența dintre termenii al șaselea și al cincilea din prima secvență? Între șapte și șase?
Numiți următorii doi termeni ai fiecărei secvențe. De ce crezi asta?
(Răspunsurile elevilor)
Ce proprietate comună au aceste secvențe? Indicați această proprietate.
(Răspunsurile elevilor)
Secvențele de numere care au această proprietate se numesc progresii aritmetice. Invitați elevii să încerce să formuleze ei înșiși definiția.
Definiția unei progresii aritmetice: o progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu cel anterior adăugat la același număr:
(- progresia aritmetică, dacă , unde este un număr.
Număr d, arătând cât de mult diferă următorul membru al secvenței față de cel precedent, se numește diferență de progresie: .
Să ne uităm din nou la secvențe și să vorbim despre diferențe. Ce caracteristici are fiecare secvență și cu ce sunt legate?
Dacă diferența într-o progresie aritmetică este pozitivă, atunci progresia este în creștere: 2, 6, 10, 14, 18, :. (
Dacă într-o progresie aritmetică diferența este negativă ( , atunci progresia este descrescătoare: 11, 8, 5, 2, -1, :. (
Dacă diferența este zero () și toți termenii progresiei sunt egali cu același număr, succesiunea se numește staționară: 5, 5, 5, 5, :.
Cum se stabilește o progresie aritmetică? Să luăm în considerare următoarea problemă.
Sarcină. Pe 1 erau 50 de tone de cărbune în depozit. În fiecare zi, timp de o lună, la depozit ajunge un camion cu 3 tone de cărbune. Cât cărbune va fi în depozit pe data de 30, dacă nu s-a consumat cărbune din depozit în acest timp.
Dacă notăm cantitatea de cărbune stocată pentru fiecare număr, obținem o progresie aritmetică. Cum se rezolvă această problemă? Chiar trebuie să calculezi cantitatea de cărbune în fiecare zi a lunii? Este posibil să faci cumva fără asta? Menționăm că până pe data de 30 vor ajunge la depozit 29 de mașini cu cărbune. Astfel, pe 30 vor fi 50 + 329 = 137 de tone de cărbune în depozit.
Astfel, cunoscând doar primul termen al unei progresii aritmetice și diferența, putem găsi orice termen al șirului. Este întotdeauna cazul?
Să analizăm modul în care fiecare termen al secvenței depinde de primul termen și de diferență:
Astfel, am obținut formula pentru al n-lea termen al progresiei aritmetice.
Exemplul 1. Secvența () este o progresie aritmetică. Găsiți dacă și .
Să folosim formula pentru al n-lea termen 
,
Raspuns: 260.
Luați în considerare următoarea problemă:
În progresia aritmetică, termenii pare au fost șterși: 3, :, 7, :, 13: Este posibil să se restabilească numerele pierdute?
Elevii vor calcula mai întâi diferența progresiei și apoi vor găsi termenii necunoscuți ai progresiei. Apoi le poți cere să găsească relația dintre membrul necunoscut al secvenței, cel anterior și următorul.
Soluţie: Să profităm de faptul că într-o progresie aritmetică diferența dintre termenii vecini este constantă. Fie membrul dorit al secvenței. Apoi
Comentariu. Această proprietate a unei progresii aritmetice este proprietatea ei caracteristică. Aceasta înseamnă că în orice progresie aritmetică, fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu media aritmetică a celor anterioare și a celor ulterioare ( 
. Și, invers, orice succesiune în care fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu media aritmetică a celor precedente și a celor ulterioare este o progresie aritmetică.
IV. Consolidare primară.
- nr 575 ab - oral
- Nr 576 avd - oral
- Nr. 577b - independent cu verificare
Secvența (este o progresie aritmetică. Aflați dacă și
Să folosim formula pentru al n-lea termen,
Răspuns: -24.2.
Aflați al 23-lea și al n-lea termen al progresiei aritmetice -8; -6,5; :
Soluţie: Primul termen al progresiei aritmetice este -8. Să aflăm diferența progresiei aritmetice pentru a face acest lucru, trebuie să scădem pe cel precedent din termenul următor al șirului: -6,5-(-8) = 1,5.
Să folosim formula pentru al n-lea termen:
Aflați primul termen al progresiei aritmetice () dacă 
.
Să ne amintim începutul lecției noastre, băieți. În timpul lecției de astăzi, ai reușit să înveți ceva nou sau să faci descoperiri? Ce obiective de lecție ne-am propus? Crezi că am reușit să ne atingem obiectivele?
Teme pentru acasă.
Punctul 25, nr. 578a, nr. 580b, nr. 582, nr. 586a, nr. 601a.
Sarcină creativă pentru elevii puternici: Demonstrați că într-o progresie aritmetică pentru orice numere astfel încât k 
Şi .
Mulțumesc pentru lecție, băieți. Ai făcut o treabă bună astăzi.
